Calculando el C_L (Coefficient of Lift) grosso modo

El otro día recibí un correo de un piloto al que le di la instrucción técnica en el CSeries. Me decía que como él era, además de piloto ingeniero aeronáutico, le gustaría saber cual era el C_L o coeficiente de sustentación (Coefficient of Lift) del nuevo avión que iba a volar. 

Este coeficiente es un número adimensional que se suele calcular experimentalmente. El coeficiente de sustentación máximo y las características de resistencia del perfil dependen de la velocidad del aire y del tamaño de la sección aerodinámica. Estas diferencias se deben a los efectos de compresibilidad y viscosidad del aire. Un examen detallado de las ecuaciones del movimiento, mediante el análisis dimensional, nos llevaría a tener que considerar otros parámetros adimensionales. Los mas importantes son el numero de Reynolds y el numero de Mach. Como se puede ver, todo esto es muy complejo para el piloto medio que no dispone de conocimientos especializados. Al ver el interés de mi antiguo alumno, le hice llegar la fórmula para el cálculo:

• Donde C_L es el coeficiente de sustentación
• C_D0 es el coeficiente de la resistencia creada por el ala sin sustentación
• A es la relación de aspecto del ala y
• e es el llamado factor de eficiencia de Oswald 

En el caso del A320, por ser un avión muy conocido, estos cálculos suelen hacerse de la siguiente manera:  

• C_D0 = 0,02
• A = 9,5
• e = 0,85

Con estos valores el C_L nos da un valor de unos 0,7 para el A320 en vuelo con los flaps y slats retraídos. 

Calcular lo mismo para un avión nuevo donde no se tiene acceso a los valores de ingeniería es casi (...y sin el casi) imposible. Una pena para mi alumno. Pero ante la dificultad uno se crece y lo que no se puede lograr por medios directos se puede llegar a intuir por medios indirectos. Lo que antes se conocía como cuadrar los resultados a martillazos y ahora se llama pomposamente "ingeniería inversa".

Le propuse que empleara una velocidad conocida y muy útil, como es la velocidad del punto verde (Green Dot) de la cual ya se ha hablado aquí. Con esta velocidad que viene tabulada en los manuales y además se puede leer en el PFD como CAS, se podría llegar a calcular el CL. Para ello lo primero que hay que hacer es obtener la velocidad de pérdida de la aeronave y multiplicarla por 1,3 (la velocidad del Green Dot es por lo general del orden de un 30% mayor que la pérdida).

Se emplea la conocida fórmula:

• Donde W es el peso (masa por gravedad)
• S es la superficie del ala en metros cuiadrados
• Rho la densidad del aire
• ...y C_L (calculable a partir de los demás parámetros)
• Todo ello multiplicado por 1,3

En los manuales del avión esto ya viene calculado para ayudar al piloto a seleccionar rápidamente la mejor velocidad, por ejemplo en caso de fallo de ambos motores (como en el caso del famoso acuatizaje del A320 de Sully en el río Hudson). Debajo se puede la tabla del cálculo de la velocidad de mínima resistencia (Green Dot) del CSeries. 

Para un vuelo a 10.000 pies de altura y 50.000 kg de peso, la tabla recomienda volar 200 nudos para poder estar en el aire el mayor tiempo posible. Recuérdese que el Green Dot es la parta más baja de la curva Drag/Speed (Velocidad/resistencia o cantidad de combustible requerida), con lo cual se consigue la Vmin-drag, y también el máximo ángulo de ascenso y también la mejor relación L/D y también... etc. Debajo se puede ver esta gráfica. Nótese que no es lo mismo la V max endurance (Velocidad con la que estamos más tiempo en el aire o Green Dot) que la V max range (velocidad en la que se obtiene el alcance máximo). La velocidad de máximo alcance se obtiene con la pendiente desde el origen a la tangente de la curva. Para una revisión de estos conceptos se pueden ver los posts asociados que están etiquetados con: actuaciones y aerodinámica

Las velocidades una vez calculadas con la fórmula son TAS o velocidades verdaderas del avión. Esto es algo poco práctico para un piloto. Por ello deben de ser convertidas a CAS, que son las velocidades que podemos leer directamente en el PFD. Para ello se emplea esta fórmula:

Siendo rho sub cero la densidad al nivel del mar en condiciones ISA. 

Con esta información y sabiendo que:

• Masa = 50000kg
• g = 9,81 m/seg al cuadrado
• S = 112.3 m^2 (superficie del ala del CSeries)
• rho =1,225 kg/m^3
• rho @ 10000 pies = 0.9046
• V_Green Dot descrita en la tabla del FCOM = 200 nudos

El C_L o coeficiente de sustentación que obtenemos es 1,14. Esto es congruente con lo que se espera de un ala supercrítica y extremadamente eficiente de última generación. En efecto, 153 nudos CAS (unos 178,5 TAS a 10.000 pies) es un valor esperado para la pérdida. Con esta velocidad multiplicada por 1,3 se consiguen los 200 nudos de la tabla. 153,863 x 1,3 = 200.018

La operación se puede repetir con otros aviones de los que conozcamos su V Green Dot Speed y así poder comparar el C_L obtenido. En el caso de un A320 clásico era de 0,7 y en el del CSeries es 1,14. Esto representa más de un 60% de efectividad en configuración limpia.

Para aquellos a los que les interese hacer este tipo de cálculos recomiendo esta estupenda página Web que ofrece conversiones de interés en aeronáutica: 

http://www.hochwarth.com/misc/AviationCalculator.html